문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 푸리에 해석 (문단 편집) === 복소 푸리에 급수 === 푸리에 급수를 [[오일러 공식]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} )]}}} 을 이용하여 좀 더 간단한 꼴로 바꾸어 보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \sin{x}&=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\ \cos{x}&=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \end{aligned} )]}}} 를 이용하면, ||<:>[math( \displaystyle \begin{aligned} f(x)&=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cdot \frac{e^{i n \omega x}-e^{-i n \omega x}}{2i} + \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \cdot \frac{e^{in \omega x}+e^{-in \omega x}}{2}+b_{0} \\&=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}(b_{n}-ia_{n})e^{i n\omega x}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}(b_{n}+ia_{n})e^{-i n\omega x}+b_{0} \end{aligned} )]|| 위 결과를 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} &f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{in \omega x} \\ &\begin{pmatrix} \begin{aligned} c_{n}&=\frac{1}{2}(b_{n}-ia_{n}) \quad (n \geq 1) \\ c_{0}&=b_{0} \\ c_{-n}&=\frac{1}{2}(b_{n}+ia_{n}) \quad (n \geq 1) \end{aligned} \end{pmatrix} \end{aligned} )]}}} [math(n \geq 1)]일 때, 각 계수를 구해보면, || [math( \displaystyle \begin{aligned} c_{n}&= \frac{1}{2}\frac{2}{T} \left[ \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cdot [\cos{(n \omega x)}-i\sin{(n \omega x)}]\,{\rm d}x \right] \\&=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-in \omega x} \,{\rm d}x \\ \\ c_{0}&=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x)\,{\rm d}x \\ &=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x)e^{i\cdot 0 \cdot \omega x}\,{\rm d}x \\ \\ c_{-n}&= \frac{1}{2}\frac{2}{T} \left[ \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cdot [\cos{(n \omega x)}+i\sin{(n \omega x)}]\,{\rm d}x \right] \\&=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{+in \omega x} \,{\rm d}x \\&=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-i(-n) \omega x} \,{\rm d}x \end{aligned} )] || 이 결과는 종합하여 아래와 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} c_{n}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-in \omega x} \,{\rm d}x \end{aligned} )]}}} 적분 구간은 '다른 적분 구간' 문단에서도 다뤘듯이 다음과 같이 쓸 수도 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} c_{n}=\frac{1}{T}\int_{x_{0}}^{x_{0}+T}f(x)e^{-in \omega x} \,{\rm d}x \end{aligned} )]}}} 이 결과는 [math(f(x))]를 전개할 때 쓰인 정규 직교 기저를 [[지수함수]]로 바꿀 수 있음을 의미하는데, 실제로 구간 [math([-T/2,\,T/2])]에서 지수 함수 [math(e^{in \omega x})]은 직교한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기